GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

FUNCIÓN SENO

FUNCIÓN COSENO

FUNCIÓN TANGENTE

 

 

 

 

 

 

FUNCIÓN COTANGENTE

 

 

 

 

 

 

FUNCIÓN SECANTE

 





 

 

 

FUNCIÓN COSECANTE

 

 



LEY DE LOS COSENOS

LEY DE LOS COSENOS. “En todo triángulo obtusángulo se cumple que: el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos”.

En la figura 1. Encuentre el valor de b.

b² = (11)² + (12)² – (2) (11) (12) Cos 120⁰

b² = 121 + 144 – (264) (- 0,5)

b² = 265 + 132

b² = 397

b = √397

b = 19,92 m.

Figura 2. Estime el valor del ángulo B.

(14)² = (10)² + (9)² – (2) (10) (9) Cos B

(2)(10) (9) Cos B = (10)² + (9)² – (14)²

(180) Cos B = 100 + 81 – 196

(180) Cos B = 181 – 196

(180) Cos B = - 15

Cos B = - 15 / 180

Cos B = - 0, 0833

Cos^{- 1} – 0, 0833 = B

B = 94⁰46’41’’

Figura 3.

Encuentre el valor de b.

b² = (6)² + (7)² – (2) (6) (7) Cos 100

b² = 36 + 49 – (84) Cos 100

b² = 85 – (84) (- 0,1736)

b² = 85 + 14,5824

b = √99,5824

b = 9,97 m.

LEY DE LOS SENOS

LEY DE LOS SENOS. “En todo triángulo acutángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”.

Figura 1.

Encuentra el valor de c.

C/Sen 100⁰ = 2,9 / Sen 43⁰⁼

c = (2,9) (Sen 100⁰) / Sen 43⁰

c = (2,9) (0,9848) / 0,6819

c = 2,8559 / 0,6819

c = 4,18 m.

Figura 2.

Encuentre el valor de b.

b/ Sen 110⁰ = 3,1 / Sen 27⁰

b = (3,1) (Sen 110⁰) / Sen 27⁰

b = (3,1) (0,9396) / 0,4539

b = 2,9127 / 0,4539

b = 6,4170

Figura 3.

Encuentra el valor de B =?

8,4 / Sen B = 5,4 / Sen 43⁰

Sen B = (8,4) (Sen 43⁰) / 5,4

Sen B = (8,4) (0,6819) / 5,4

Sen B = 5,7279 / 5,4

Sen B = 1,060

Sen^{- 1} 1,060 = B

-          Ǝ - No es possible.

APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

En la figura 1.

Una escalera se encuentra reposando sobre una pared de 2,10 metros de alto; formando un ángulo de 42⁰ con la horizontal. Estime la longitud de la escalera.

R/   Sen 42⁰ = 2,10 m / L

L = 2,10 m / Sen 42⁰      luego al extraer el seno de dicho ángulo en la calculadora se tiene que:

L = 2,10 m / 0,6691

L = 3,13 m

Por lo tanto la longitud de la escalera es de 3,13 m.

En la figura 2.

Un joven se encuentra elevando una cometa como muestra la figura. La distancia entre la base del árbol y el joven es de 3,4 m. y forma un ángulo de 35⁰ con la horizontal. Estime la altura del árbol.

R/ siendo X la altura del árbol se tiene:

Tan 35⁰ = X/ 3,4 m

X = (3,4 m) (Tan 35⁰)

X = (3,4 m) (0,7002)

X = 2,38 m.

De esta forma se estima que la altura del árbol es de 2,38 m.

En la figura 3.

La distancia que hay entre un faro y un barco es de 9,2 millas. Si el ángulo de depresión del faro es de 57⁰. Calcule la distancia que hay entre el barco y la base del faro.

R/ siendo X la distancia entre el barco y el faro se tiene:

Sen 57⁰ = X/9, 2

X = (9, 2) (Sen 57⁰)

X = (9, 2) (0, 8386)

X = 7, 71 mills.

MAPA CONCEPTUAL DE ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS

ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS

ÁNGULO: formado por dos rayos que tienen un punto final en común llamado vértice

POSICIÓN NORMAL: ángulo que tiene su lado inicial coincidiendo con el eje x y se encuentra en el primer cuadrante.

ANGULOS COTERMINALES: son ángulos en posición normal que tienen el mismo lado terminal. Ejemplos: 960º y 240º

Encontrar el ángulo coterminal con: 1080º, 750º, 890º, - 1080º, - 970º, - 540º.

1080º = 3 (360) + 0º, por lo tanto el ángulo coterminal de 1080º es 0º

750º = 2 (360) + 30º, por lo tanto el coterminal de 750º es 30º

890º = 2 (360) + 170º, por lo tanto el coterminal de 890º es 170º

Coterminal de - 1080º + 360º + 360º + 360º = 0º, el coterminal de – 1080º es 0º

Coterminal de – 970º + 360º + 360º + 360º = 110º, el coterminal de -970º es 110º

Coterminal de – 540º + 360º + 360º = 180º, el coterminal de – 540º es 180º.

 

MINUTOS Y SEGUNDOS

1º = 60´

1´= 60´´

Ejemplos: 86,23º a grados minutos y segundos.

86,23º = 86º + (0,23) (60´)

86º + 13,8´

86º + 13´+ (0,8) (60´´)

86º + 13´+ 48´´

Lo cual nos conduce a: 86º13´48´´

Segundo ejemplo: 375,83º  a grados, minutos y segundos

375º + (0,83) (60´)

375º + 49,8´

375º + 49´+ (0,8) (60´´)

375º + 49´ + 48´´

Lo cual nos conduce a: 375º 49´48´´

Tercer ejemplo: 234,763º a grados, minutos y segundos.

234 + (0,763) (60´)

234º + 45,78´

234º + 45´+ (0,78) (60´´)

234º + 45´+ 46,8´´

Lo cual nos conduce a: 234º45´46,8´´

 

1º = 60´,   1´= (1/60)º,  1´´ = (1/60)´,   1´´ = (1/3600)º

Ejemplos:

17º47´13´´  a grados

17º + 47 (1/60)º + 13 (1/3600)º

17º + 0,7833º + 0,0036º

17,7869º

Segundo ejemplo:

26º35´40´´ a grados

26º + 35 (1/60)º + 40 (1/3600)º

26º + 0,5833 + 0,011

26,5943º

Tercer ejemplo:

4º13´ 12´´

4º + 13 (1/60)º + 12 (1/3600)º

4º + 0,208º + 0,0033º

4,2113º

 

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS.

Dos ángulos son comentarios si su suma es 90º.

Ejemplo: hallar el complementario de:

a)     73,40º,   R/ 90º - 73,40º = 16,6º

b)    75º12´57´´       R/ 90º - 75º12´57´´ = 14º47´3´´

c)     65º15´           R/ 90º - 65º15´ = 24º45´

Radianes

Un radián se define como la amplitud del ángulo central que subtiende un arco de longitud igual al radio de la circunferencia.

ϴ = s/r

Conversión: no hay dos medidas, es la misma, simplemente en grados el giro es de 360º, mientras que en radianes el giro equivale a 2π

1º = π/180,      1 radián = 180/π

1º es aproximadamente igual a: 0,0175 radianes.

1 radián es equivalente aproximadamente a: 47º17´44´´

Ejemplos:

Convertir 30º, 45º, y 120º en radianes.

30º (π/180º) = π/6 radianes

45º (π/180º) = π/4 radianes

120º (π/180º) = 2π/3 radianes

Convertir:

π/6, π/3, π/2 a grados.

π/6 (180/π) = 30º

π/3 (180/π) = 60º

π/2 (180/π) = 90º

encuentre el ángulo coterminal entre 0 y 2π con A = 9π/4

9π/4 - 2π = π/4

B = 7π/3

7π/3 - 2π = π/6

C = 5π/2

5π/2 - 2π = π/2

 

Longitud de arco.

La longitud de arco es el valor del ángulo central multiplicado por el radio.

S = ϴ. r

Ejemplos:

Sea ϴ = 8 y r = 2

S = (8) (2) = 16

ϴ = 3, r = 2

S = (3) (2) = 6

ϴ = 7,  r = 4

S = (7) (4) = 28

 

 

 

 

 

 

PROBLEMAS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

La suma de dos números es 9, y su producto es 20. Hallar los números.

R/ sea X un número, y sea 9 – X  el otro número, por lo tanto.

X (9 – X) = 20

9X – X² = 20

9X – X² – 20 = 0 después de ordenar y multiplicar por -1, a manera de obtener el valor de – X² positivo.

X² – 9X + 20 = 0

Factorizando

(X – 5) (X – 4) = 0

(X – 5) = 0 v (X – 4) = 0

X = 5 V X = 4

De esta forma los valores buscados son 4 y 5.

Jorge plantea la siguiente cuestión. Si al doble del cuadrado de un número, le sumo cinco veces dicho número. Obtengo 12. ¿Qué número es?

R/ sea X el número a buscar, entonces:

2X² + 5X = 12, ordenando y resolviendo la cuadrática.

2X² + 5X – 12 = 0

(2X)² + 5 (2X) – 24 / 2 = 0

(2X + 8) (2X – 3) / 2 = 0

X + 4 = 0 v 2X – 3 = 0

X = - 4 v X = 3/2

Ambos valores satisfacen las condiciones del problema.

Un gavilán dijo un día: adiós a mis 16 palomas. Al instante respondieron ellas: que tan raro señor gavilán, si el cuadrado de nosotras, más el doble de nosotras, más usted, sumamos 16. Según esto el número de palomas era:

R/ sea X  el número de palomas.

X² + 2X + 1 = 16

X² + 2X + 1 – 16 = 0

X² + 2X – 15 = 0

Factorizando;

(X + 5) (X – 3) = 0

(X+ 5) = 0 v (X- 3) = 0

X = -5 v X = 3.

Eran 3 las palomas, a pesar de  -5 satisfacer la ecuación, no puede haber – 5 palomas, por lo tanto es una solución extraña.

 

PROBLEMAS DE ECUACIONES EN UNA VARIABLE

Un caballo y su montura cuestan 1.265.000 pesos, si el caballo costó tres veces lo de la montura. ¿Cuánto costó el caballo y cuánto la montura?

R/ Sea X el costo de la montura

Y sea 3X el costo del caballo.

Por lo tanto: X + 3X = 1.265.000

4X = 1.265.000

X = 1.265.000/4

X = 316.250

Después de sustituir el valor de X en 3X se estima: que el caballo costó 948.750 pesos, y la montura costó 316.250 pesos.

La edad de M es 1/3 de la edad de N, y la diferencia entre la edad de M y N es – 20. ¿Cuántos años tiene M y cuántos años tiene N?

R/ sea X la edad de N

Sea 1/3 X la edad de M

Por lo tanto: 1/3X – X = - 20

Resolviendo las fracciones se tiene que, X – 3X /3 = - 20,  ahora  -2X = - 20 (2), al multiplicar a ambos miembros por – 1 para cancelar los valores negativos llegamos a 2X = 60. X = 60/2, X = 30

Sustituyendo dicho valor en las ecuaciones  planteadas se concluye que: la edad de M es 10 años, y que la edad de N es 30 años.

Ana tiene el cuádruplo de la edad de Carmen, y si a ambas edades se les resta 10 años se obtiene 80. ¿Cuántos años tiene Ana y cuántos años tiene Carmen?

R/ sea X la edad de Carmen

Sea 4X la edad de Ana.

Como a ambas edades se les resta 10 años se tiene:

X – 10 + 4X – 10 = 80

5X = 80 + 20

X = 100/5

X = 20

Se concluye después de sustituir dicho valor en las dos ecuaciones planteadas al inicio que: Carmen tiene 20 años y Ana tiene 80 años.

PROBLEMAS DE ECUACIONES EN DOS VARIABLES

La edad de Pedro más la edad de Juan suman 25 años, y la diferencia de edades entre ellos es 5 años. ¿Cuántos años tiene Pedro y Cuántos tiene Juan?

R/  sea x la edad de Pedro, y sea  Y la edad de Juan.

Por lo tanto:

X + Y  = 25

X – Y = 5

Aplicando método de reducción y después de cancelar Y se tiene:

2X = 30

X = 30/2

X = 15

Sustituyo este valor en la primera ecuación. X + Y = 25

15 + Y = 25, luego al despejar Y, se tiene: Y = 25 – 15. Lo cual nos conduce a que Y = 10

De esta forma la edad de Pedro es 15 años, y la edad de Juan es 10 años.

El dinero que tiene Carlos sumado con el dinero que tiene Luis es 250 pesos. Y si al doble del dinero que tiene Carlos le restamos el triple del dinero que tiene Luis se obtiene – 250 pesos. ¿Cuánto  dinero tiene cada uno?

R/ sea  X el dinero que tiene Carlos

Sea Y el dinero que tiene Luis.

Acorde con el problema se tiene:

X + Y = 250

2X – 3Y = - 250

Aplicando método de sustitución se tiene:

Despejo X en la primera ecuación.

X + Y = 250

X = 250 – Y, luego sustituyo dicho valor en la segunda ecuación.

2X – 3Y = - 250

2 (250 – Y) – 3Y = - 250

500 – 2Y – 3Y = - 250

500 + 250 = 2Y + 3Y

750 = 5Y

750/5 = Y

150 = Y

Sustituyo dicho valor en la primera ecuación.

X + Y = 250

X = 250 – Y

X = 250 – 150

X = 100

Por lo tanto, Carlos tiene 100 pesos, y Luis tiene 150 pesos.

 

PROBLEMAS DE ECUACIONES EN DOS VARIABLES

Jorge compró un caballo y su cabezal por 950.000 pesos. y luego los vendió por 1.021.500 pesos. Ganando 8% en el caballo y 5% en el cabezal. ¿Cuánto costó el caballo y cuánto el cabezal?

El estudiante debe tener presente para resolver este problema los conceptos de:

Porcentaje y métodos de resolución de ecuaciones simultáneas. Puede ser: igualación, sustitución, reducción, Kramer etc.

Sea X el costo del caballo y sea Y el costo del cabezal.

Acorde al problema se tiene.

X + Y = 950.000; luego en el caballo gana el 8%, o sea 8/100. y el  cabezal 5% esto es 5/100

De donde 8/100 = 0,08, y 5/100 = 0.05. Teniendo la ecuación 0,08 X + 0,05 Y = 71.500 El cual es el valor de ganancia. Tenga presente que 1.021.500 - 950.000 nos da como resultado 71.500.

Planteando el sistema se tiene:

X + Y = 950.000     (1)

0,08 X + 0,05 Y = 71.500   (2)

Despejo X en la primera ecuación. X = 950.000 – Y, ahora sustituyo este valor en la segunda ecuación. (2)

0,08 (950.000 – Y ) + 0,05 Y = 71.500

76.000 – 0,08 Y + 0,05 Y = 71.500

- 0,03 Y = 71.500 – 76.00

- 0.03 Y = - 4.500, multiplicando a ambos miembros por -1, se tiene:

0.03 Y = 4.500

Y = 4.500/ 0.03

Y = 150.000

Sustituyo dicho valor en la ecuación (1)

X + Y = 950.000

X = 950.000 – Y

X= 950.000 – 150.000

X = 800.000

De esta forma se concluye que el costo del caballo fue de 800.000 pesos. Y el costo del cabezal fue de 150.000 pesos.

ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA EL SOLAZ DEL ESPÍRITU

ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA

CAMILO JARAMILLO LÓPEZ

JESÚS DAVID GONZÁLEZ ÁLVAREZ.

Facultad de Educación: Programa de Licenciatura en Matemáticas.

Docente: Juan Carlos Franco Montoya.

Universidad Católica de Oriente

Rionegro Antioquia.

2012.



PRESENTACIÓN DE LOS CREADORES

Por medio de este blog, registraremos una bitácora especial de cada una de las temáticas abordadas en clase respecto al área de álgebra y trigonometría; como producto de los encuentros presenciales.

Que si bien, permitirá afianzar los contenidos y disponer de un material de apoyo pedagógico; para el presente y futuro ejercicio de la docencia en el área de matemáticas.

Esperamos contribuir por medio de este trabajo al enamoramiento de las matemáticas; en especial del álgebra y la trigonometría, como cariñosamente las llamaremos: "El solaz del espíritu"`

LOS AUTORES.

PRESENTACIÓN DE LOS CONTENIDOS

Los contenidos aquí desarrollados permitirán la retroalimentación de los mismos en el plano del mañana, constituyéndose garante para la enseñanza del álgebra y la trigonometría en el ambiente de la escuela secundaria.

Un referente de suma importancia es la inclusión de ejercicios en cada uno de los temas tratados; y a su vez mediatizados en la construcción del aprendiz, donde permite ilustrar que si es posible realizar constructos propios a partir de contextos bien elaborados y definidos.

No obstante en el presente blog, quedarán registrados los aspectos más significativos de los contenidos expuestos, tanto en álgebra como en trigonometría. con un valor agregado, la instrucción permanente de que las matemáticas son una ciencia que convive a diario con nosotros, y que debemos hacerla viva y eficaz y parte fundamental de las competencias ciudadanas.

OBJETIVOS

- Proporcionar elementos pertinentes para la correcta apropiación y posterior enseñanza del álgebra y la trigonometría.

- Capturar el interés de los estudiantes hacia el aprendizaje significativo del álgebra y la trigonometría.

- Contribuir positivamente en la construcción, elaboración y desarrollo de ejercicios de autoría propia.

- Afianzar los conocimientos mediante el apoyo de diversas fuentes bibliográficas; dando crédito al autor de problemas de aplicación que sean extraídos de textos impresos o de la web.

TABLA DE CONTENIDO

UNIDAD Nº 1

FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA

Plantea las expresiones algebraicas que representan una situación. Resuelve la situación a partir de las expresiones algebraicas que la representan, utilizando las propiedades, operaciones y métodos desarrollados.

- Ecuaciones problema de aplicación.
- Función exponencial y logaritmica. Problemas de aplicación.
- Fracciones parciales.

UNIDAD Nº 2

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

- Expresa ángulos en grados sexagecimales y radianes.

- Determina las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.

- Determina los elementos del triángulo rectángulo por medio de las razones trigonométricas.

- Deduce las funciones trigonométricas de ángulos notables en la circunferencia unitaria y no unitaria.

- Dibuja las gráficas de las funciones trigonométricas.

- Ángulos y sistemas de medición.

- Razones trigonométricas.

- La función circular.

- Funciones trigonométricas.

- Gráficas de las funciones trigonométricas.

UNIDAD Nº 3

IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS.

- Demuestra identidades trigonométricas.

- Demuestra identidades trigonométricas.

- Relaciones entre las funciones trigonométricas.

- Identidades fundamentales.

- Fórmulas de adición de dos ángulos.

- Fórmulas para ángulos dobles y medios.

- Fórmulas para transformar sumas y productos.

- Ecuaciones trigonométricas.

- Identidades y ecuaciones con funciones inversas.

UNIDAD Nº 4

APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA EN UNA SITUACIÓN ESPECÍFICA.

- Identifica las expresiones trigonométricas que representan la situación.

- Resuelve la situación a partir de las expresiones trigonométricas que la representan, utilizando las propiedades, operaciones y métodos desarrollados.

- Ángulos de elevación y ángulos de depresión.

- Ley de los senos y del coseno.

- Aplicaciones prácticas a la trigonometría.