GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

FUNCIÓN SENO

FUNCIÓN COSENO

FUNCIÓN TANGENTE

 

 

 

 

 

 

FUNCIÓN COTANGENTE

 

 

 

 

 

 

FUNCIÓN SECANTE

 





 

 

 

FUNCIÓN COSECANTE

 

 



LEY DE LOS COSENOS

LEY DE LOS COSENOS. “En todo triángulo obtusángulo se cumple que: el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos”.

En la figura 1. Encuentre el valor de b.

b² = (11)² + (12)² – (2) (11) (12) Cos 120⁰

b² = 121 + 144 – (264) (- 0,5)

b² = 265 + 132

b² = 397

b = √397

b = 19,92 m.

Figura 2. Estime el valor del ángulo B.

(14)² = (10)² + (9)² – (2) (10) (9) Cos B

(2)(10) (9) Cos B = (10)² + (9)² – (14)²

(180) Cos B = 100 + 81 – 196

(180) Cos B = 181 – 196

(180) Cos B = - 15

Cos B = - 15 / 180

Cos B = - 0, 0833

Cos^{- 1} – 0, 0833 = B

B = 94⁰46’41’’

Figura 3.

Encuentre el valor de b.

b² = (6)² + (7)² – (2) (6) (7) Cos 100

b² = 36 + 49 – (84) Cos 100

b² = 85 – (84) (- 0,1736)

b² = 85 + 14,5824

b = √99,5824

b = 9,97 m.

LEY DE LOS SENOS

LEY DE LOS SENOS. “En todo triángulo acutángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”.

Figura 1.

Encuentra el valor de c.

C/Sen 100⁰ = 2,9 / Sen 43⁰⁼

c = (2,9) (Sen 100⁰) / Sen 43⁰

c = (2,9) (0,9848) / 0,6819

c = 2,8559 / 0,6819

c = 4,18 m.

Figura 2.

Encuentre el valor de b.

b/ Sen 110⁰ = 3,1 / Sen 27⁰

b = (3,1) (Sen 110⁰) / Sen 27⁰

b = (3,1) (0,9396) / 0,4539

b = 2,9127 / 0,4539

b = 6,4170

Figura 3.

Encuentra el valor de B =?

8,4 / Sen B = 5,4 / Sen 43⁰

Sen B = (8,4) (Sen 43⁰) / 5,4

Sen B = (8,4) (0,6819) / 5,4

Sen B = 5,7279 / 5,4

Sen B = 1,060

Sen^{- 1} 1,060 = B

-          Ǝ - No es possible.

APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

En la figura 1.

Una escalera se encuentra reposando sobre una pared de 2,10 metros de alto; formando un ángulo de 42⁰ con la horizontal. Estime la longitud de la escalera.

R/   Sen 42⁰ = 2,10 m / L

L = 2,10 m / Sen 42⁰      luego al extraer el seno de dicho ángulo en la calculadora se tiene que:

L = 2,10 m / 0,6691

L = 3,13 m

Por lo tanto la longitud de la escalera es de 3,13 m.

En la figura 2.

Un joven se encuentra elevando una cometa como muestra la figura. La distancia entre la base del árbol y el joven es de 3,4 m. y forma un ángulo de 35⁰ con la horizontal. Estime la altura del árbol.

R/ siendo X la altura del árbol se tiene:

Tan 35⁰ = X/ 3,4 m

X = (3,4 m) (Tan 35⁰)

X = (3,4 m) (0,7002)

X = 2,38 m.

De esta forma se estima que la altura del árbol es de 2,38 m.

En la figura 3.

La distancia que hay entre un faro y un barco es de 9,2 millas. Si el ángulo de depresión del faro es de 57⁰. Calcule la distancia que hay entre el barco y la base del faro.

R/ siendo X la distancia entre el barco y el faro se tiene:

Sen 57⁰ = X/9, 2

X = (9, 2) (Sen 57⁰)

X = (9, 2) (0, 8386)

X = 7, 71 mills.

MAPA CONCEPTUAL DE ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS

ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS

ÁNGULO: formado por dos rayos que tienen un punto final en común llamado vértice

POSICIÓN NORMAL: ángulo que tiene su lado inicial coincidiendo con el eje x y se encuentra en el primer cuadrante.

ANGULOS COTERMINALES: son ángulos en posición normal que tienen el mismo lado terminal. Ejemplos: 960º y 240º

Encontrar el ángulo coterminal con: 1080º, 750º, 890º, - 1080º, - 970º, - 540º.

1080º = 3 (360) + 0º, por lo tanto el ángulo coterminal de 1080º es 0º

750º = 2 (360) + 30º, por lo tanto el coterminal de 750º es 30º

890º = 2 (360) + 170º, por lo tanto el coterminal de 890º es 170º

Coterminal de - 1080º + 360º + 360º + 360º = 0º, el coterminal de – 1080º es 0º

Coterminal de – 970º + 360º + 360º + 360º = 110º, el coterminal de -970º es 110º

Coterminal de – 540º + 360º + 360º = 180º, el coterminal de – 540º es 180º.

 

MINUTOS Y SEGUNDOS

1º = 60´

1´= 60´´

Ejemplos: 86,23º a grados minutos y segundos.

86,23º = 86º + (0,23) (60´)

86º + 13,8´

86º + 13´+ (0,8) (60´´)

86º + 13´+ 48´´

Lo cual nos conduce a: 86º13´48´´

Segundo ejemplo: 375,83º  a grados, minutos y segundos

375º + (0,83) (60´)

375º + 49,8´

375º + 49´+ (0,8) (60´´)

375º + 49´ + 48´´

Lo cual nos conduce a: 375º 49´48´´

Tercer ejemplo: 234,763º a grados, minutos y segundos.

234 + (0,763) (60´)

234º + 45,78´

234º + 45´+ (0,78) (60´´)

234º + 45´+ 46,8´´

Lo cual nos conduce a: 234º45´46,8´´

 

1º = 60´,   1´= (1/60)º,  1´´ = (1/60)´,   1´´ = (1/3600)º

Ejemplos:

17º47´13´´  a grados

17º + 47 (1/60)º + 13 (1/3600)º

17º + 0,7833º + 0,0036º

17,7869º

Segundo ejemplo:

26º35´40´´ a grados

26º + 35 (1/60)º + 40 (1/3600)º

26º + 0,5833 + 0,011

26,5943º

Tercer ejemplo:

4º13´ 12´´

4º + 13 (1/60)º + 12 (1/3600)º

4º + 0,208º + 0,0033º

4,2113º

 

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS.

Dos ángulos son comentarios si su suma es 90º.

Ejemplo: hallar el complementario de:

a)     73,40º,   R/ 90º - 73,40º = 16,6º

b)    75º12´57´´       R/ 90º - 75º12´57´´ = 14º47´3´´

c)     65º15´           R/ 90º - 65º15´ = 24º45´

Radianes

Un radián se define como la amplitud del ángulo central que subtiende un arco de longitud igual al radio de la circunferencia.

ϴ = s/r

Conversión: no hay dos medidas, es la misma, simplemente en grados el giro es de 360º, mientras que en radianes el giro equivale a 2π

1º = π/180,      1 radián = 180/π

1º es aproximadamente igual a: 0,0175 radianes.

1 radián es equivalente aproximadamente a: 47º17´44´´

Ejemplos:

Convertir 30º, 45º, y 120º en radianes.

30º (π/180º) = π/6 radianes

45º (π/180º) = π/4 radianes

120º (π/180º) = 2π/3 radianes

Convertir:

π/6, π/3, π/2 a grados.

π/6 (180/π) = 30º

π/3 (180/π) = 60º

π/2 (180/π) = 90º

encuentre el ángulo coterminal entre 0 y 2π con A = 9π/4

9π/4 - 2π = π/4

B = 7π/3

7π/3 - 2π = π/6

C = 5π/2

5π/2 - 2π = π/2

 

Longitud de arco.

La longitud de arco es el valor del ángulo central multiplicado por el radio.

S = ϴ. r

Ejemplos:

Sea ϴ = 8 y r = 2

S = (8) (2) = 16

ϴ = 3, r = 2

S = (3) (2) = 6

ϴ = 7,  r = 4

S = (7) (4) = 28

 

 

 

 

 

 

PROBLEMAS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

La suma de dos números es 9, y su producto es 20. Hallar los números.

R/ sea X un número, y sea 9 – X  el otro número, por lo tanto.

X (9 – X) = 20

9X – X² = 20

9X – X² – 20 = 0 después de ordenar y multiplicar por -1, a manera de obtener el valor de – X² positivo.

X² – 9X + 20 = 0

Factorizando

(X – 5) (X – 4) = 0

(X – 5) = 0 v (X – 4) = 0

X = 5 V X = 4

De esta forma los valores buscados son 4 y 5.

Jorge plantea la siguiente cuestión. Si al doble del cuadrado de un número, le sumo cinco veces dicho número. Obtengo 12. ¿Qué número es?

R/ sea X el número a buscar, entonces:

2X² + 5X = 12, ordenando y resolviendo la cuadrática.

2X² + 5X – 12 = 0

(2X)² + 5 (2X) – 24 / 2 = 0

(2X + 8) (2X – 3) / 2 = 0

X + 4 = 0 v 2X – 3 = 0

X = - 4 v X = 3/2

Ambos valores satisfacen las condiciones del problema.

Un gavilán dijo un día: adiós a mis 16 palomas. Al instante respondieron ellas: que tan raro señor gavilán, si el cuadrado de nosotras, más el doble de nosotras, más usted, sumamos 16. Según esto el número de palomas era:

R/ sea X  el número de palomas.

X² + 2X + 1 = 16

X² + 2X + 1 – 16 = 0

X² + 2X – 15 = 0

Factorizando;

(X + 5) (X – 3) = 0

(X+ 5) = 0 v (X- 3) = 0

X = -5 v X = 3.

Eran 3 las palomas, a pesar de  -5 satisfacer la ecuación, no puede haber – 5 palomas, por lo tanto es una solución extraña.